可以根据以下几个步骤来处理：
发布遗失声明：首先，公司可能需要在省级或以上级别的媒体或指定平台上发布遗失声明，公开宣布证书遗失的事实，声明原证书作废。这一步在之前的信息中已经有所体现，公司似乎已经进行了遗失声明的发布。
网上申请补办：企业可以直接通过相关的政务服务系统或建筑业企业网上快报系统进行资质证书的遗失补办申请。需要登录系统，填写遗失补办的申请，并上传必要的证明材料。
提交必要材料：在申请过程中，公司可能需要提交营业执照副本复印件、法人身份证明、遗失声明的登报证明以及可能要求的其他相关文件。
审核与补发：提交申请后，相应的住房和城乡建设厅或其授权机构会对申请材料进行审核。审核通过后，由于目前趋势是减少纸质证书的发放，可能会直接更新电子资质证书或者提供电子证明，而非传统的纸质副本。但如果政策允许且公司有特殊需求，也可能会补发新的纸质证书。
关注时效性：在申请补办时，需要注意当前的政策时效性，比如是否有特定的补办期限，以及新的资质证书的有效期问题。根据之前的资讯，企业可以申请换领有效期至2024年12月31日的资质证书。
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